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考研数学线性代数的重点内容和典型题型

发布日期:2021-09-18 18:00:28  来源:北京中公考研

22考研自习室学习:707412975 | 北京研究生考试网微信公众号 (bjzgky365)

2022年考研数学大纲已发布,和2021年的大纲差别不大,线性代数科目的考查重点和复习重点基本不变,但是2022年为考研偶数年,在难度上可能会较去年有所增加。为了帮助各位考生能有效的复习线性代数,下面将对考研数学线性代数的重点内容和典型题型进行分析,希望能给在复习过程中迷茫的你或遇到瓶颈的你带来一些帮助。

考研数学的命题灵活性非常大,就同一个知识点而已,考查难度有时就差别千里,而更多的命题是多个知识点的叠加,综合性不言而喻。线性代数在考研数学中的地位不容小觑,而相对高数而言,整体内容不多,题型特点比较突出,主要是计算题为主,证明题为辅,算是比较好掌握的一门学科,因此各位考生想要在考研数学中取得较好的成绩,学好线代势在必行。

线性代数的学习主要分两个部分:一是对工具的掌握,这部分主要为行列式、矩阵、秩、特征值与特征向量;二是对理论的运用,这部分主要为线性方程组,向量关系,相似对角化以及二次型。

线性代数——工具篇

行列式是整个线性代数的基本运算工具,在每一模块都有应用,虽然在整张试卷中所占比例不是很大,单独考查较少,但与之相关的考题每年都有。例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。考生需重点掌握行列式的计算方法,达到能熟练计算各式各类的行列式的要求。涉及到行列式的常考题型有数值型和抽象性两类。其中数值型中有低阶和高阶行列式之分,主要考查方式是直接需要考生计算出结果,或是结合题目其他信息利用行列式计算参数,这类行列式的主要计算方法是降阶法,一般先用行列式的性质进行恒等变形,再按行、按列用展开定理将行列式降阶。此外,一些特殊的行列式(三角行列式、爪型行列式、对角线型行列式等等)的计算方法也应掌握。

矩阵是线性代数的重要运算单位,是建立整个学科体系的基础,其概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分重要考试要点有逆矩阵及伴随矩阵,在考试中大题小题均有覆盖,典型题型有以下几种:方幂的运算、求解矩阵方程、判断及证明矩阵可逆,与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题等。考生需要重点掌握逆矩阵的判定及计算方法及其在矩阵方程中的应用,伴随矩阵的相关性质,特别是矩阵可逆性不同情况下对公式的运用,以及与秩相关的公式。

秩和特征值、特征向量都需要考生掌握最为基本的计算公式,一般会设置为大题的第一问,或者作为某个题目解题的突破口。考生需记熟与秩相关的公式,特征值及特征向量的计算方法及相关性质。

线性代数——理论篇

向量组的关系有线性表示及线性相关性,其中线性相关性是考研线性代数的重点考查内容。这部分内容较为抽象,综合性强,其分值占比大,是大题的常用考试要点之一,考频高。常见题型有:向量组的线性相关性的判定或证明、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、有关方程组的命题、与向量空间有关的命题。考生一定要把控好对线性相关性的理解,相关定理要熟记,特别是要吃透其与方程组之间的关系,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解。

整个线性代数研究的核心便是线性方程组,历年考题中,频率较高,几乎每年都会出现,而且大题居多,是线性代数部分考查的重点内容。在这部分内容的学习中特别要注意齐次与非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、含参讨论的方法等内容的掌握。典型的题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题、矩阵方程的求解等。

相似对角化与二次型在考研中有时会结合起来出大题,是线性代数的重要理论,这部分内容题量多分值大。其中相似对角化也比较喜欢在小题中出现,主要考查题型为:相似对角化的判定,间接计算矩阵的特征值等。而重点题型一般为判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为实对称矩阵的问题,而对实对称矩阵的研究也是特征值与特征向量以及相似对角化等内容,在其学习上需以相似对角化作为基础,这部分是线性代数的一个重难点,重点题型有:二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形或规范型、二次型正定性的判别。

由2022年考研数学大纲可以看出,线性代数的考查内容不多,但从考试趋势来看,线代科目对各位考生的要求更高,考试要点会更为综合,正是这些综合性的考题将会拉开了考生之间的成绩差距,若想取得理想分数,各位考生就必须要熟练掌握和灵活运用基本的概念以及公式定理。基于此,中公考研数学研究院结合多年的考研辅导经验以及独有的研发体系,希望能帮助考生有计划、有目的及有步骤的完成数学的复习,欢迎加入我们。在此,中公考研教研团队祝各位考生在考试中取得优异的成绩。

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